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La Notation Siteswap (Concepts Avancés) (6/20)

Article proposé par Frédéric Roudaut

Le 15/11/2015.

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VI - Matrices et Diagrammes Etats/Transitions Réduits

Les Diagrammes Etats/Transitions Réduits viennent d'une idée originale de Hans Lundmark en 2004. Il proposa donc une adaptation équivalente et réduite de ces différents diagrammes. Les Matrices associées suivent par conséquence une réduction équivalente.

 

Pour s'en convaincre comparez les versions originelles et réduites du Diagramme et de la Matrice Etats/Transitions de 2 objets pour une hauteur maximum de 3 :

 

diagram_reduc_process_ex_2_3.png

 

Cette simplification est d'autant plus flagrante si on augmente le nombre d'objets et/ou la hauteur. Voici à titre de comparaison les versions originelles et réduites du Diagramme et de la Matrice Etats/Transitions de 3 objets pour une hauteur maximum de 5 :

 

diagram_reduc_process_ex_3_5.png

 

Matrices et Diagrammes Etats/Transitions sont équivalents à leur originaux et la transformation n'impacte en aucun cas le pouvoir de génération de ces nouveaux diagrammes. Seul le nombre d'états et éventuellement de transitions se retrouve réduit. Nous verrons par la suite que la réduction du nombre de transitions n'est pas garantie au sein des Matrices.

 

La réduction des diagrammes repose sur 3 opérations :

  • Les transitions entre 2 états identiques sont agrégées en une transition unique multiple. C'est finalement ce qu'on observe déjà avec les Matrices. Ceci ne réduit donc pas le nombre de transitions réelles au sein de la Matrice mais leur représentation en Diagramme devient plus compacte :
    diagram_reduc_process0.png

     

  • Les états source d'une unique transition (éventuellement multiple) sont supprimés :
    diagram_reduc_process1.png

     

  • Les états en destination d'une unique transition (éventuellement multiple) sont supprimés :
    diagram_reduc_process2.png

 

L'application aux Matrices Etats/Transitions s'opère de la manière suivante :

  • pour la suppression des états source d'une unique transition (éventuellement multiple) :
    diagram_reduc_process1_matrix.png

     

  • pour la suppression des états destination d'une unique transition (éventuellement multiple) :
    diagram_reduc_process2_matrix.png

 

Nous avons précédemment indiqué que l'algorithme de réduction réduisait les états mais pas forcément les transitions au sein de la Matrice. Ceci est une conséquence directe de la prise en compte des transitions multiples. Observons l'exemple ci-dessous où la réduction supprime un état source d'une transition unique mais multiple augmentant en fait le nombre réel de transitions :

diagram_reduc_process1mult.png

 

On peut observer le même phénomène lorsque la réduction supprime un état destination d'une transition unique mais multiple :

diagram_reduc_process2mult.png

 

Cette augmentation du nombre de transitions réelles au sein des Matrices s'observe sur certaines des Matrices Etats/Transitions Réduites Synchrones par exemple.

 

Au sein de ce chapitre vous trouverez les différentes Matrices Etats/Transitions Réduites correspondant au chapitre précédent. Celles-ci vous permettront de trouver multitudes de Siteswaps ou de transitions manuellement ou par ingestion d'un programme informatique tel que JugglingTB.

VI-1 - Notation Vanille

Hauteur Max Siteswap
Etats
Vanilles		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2     1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3       1 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78
4         1 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286
5           1 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715
6             1 1 6 21 56 126 252 462 792 1287
7               1 1 7 28 84 210 462 924 1716
8                 1 1 8 36 120 330 792 1716
9                   1 1 9 45 165 495 1287
10                     1 1 10 55 220 715
11                       1 1 11 66 286
12                         1 1 12 78
13                           1 1 13
14                             1 1
15                               1
Somme
(0..15)		 0 2 3 4 6 10 18 34 66 130 258 514 1026 2050 4098 8194
Hauteur Max Siteswap
Transitions
Vanilles		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2     1 3 8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195
3       1 4 15 36 70 120 189 280 396 540 715 924 1170
4         1 5 24 70 160 315 560 924 1440 2145 3080 4290
5           1 6 35 120 315 700 1386 2520 4290 6930 10725
6             1 7 48 189 560 1386 3024 6006 11088 19305
7               1 8 63 280 924 2520 6006 12936 25740
8                 1 9 80 396 1440 4290 11088 25740
9                   1 10 99 540 2145 6930 19305
10                     1 11 120 715 3080 10725
11                       1 12 143 924 4290
12                         1 13 168 1170
13                           1 14 195
14                             1 15
15                               1
Somme
(0..15)		 0 2 4 8 18 42 98 226 514 1154 2562 5634 12290 26626 57346 122882

 

L'histogramme ci-dessous compare le nombre d'états des Matrices Vanilles Etats/Transitions avec leur format réduit selon le nombre d'objets (jusqu'à 9) et la hauteur maximum. Cliquez sur l'image pour zoomer. Les Colonnes étiquetées "S" correspondent aux valeurs Standards, celles étiquetées "R" indiquent les valeurs réduites.

 

diagram_V_comp_states_low.png

 

L'histogramme ci-dessous compare le nombre de transitions des Matrices Vanilles Etats/Transitions avec leur format réduit selon le nombre d'objets (jusqu'à 9) et la hauteur maximum. Cliquez sur l'image pour zoomer.

 

diagram_V_comp_transitions_low.png

 

Au besoin vous trouverez une version plus complète de l'histogramme :

  • de comparaison du nombre d'états des Matrices Vanilles Etats/Transitions avec leur format réduit ici.
  • de comparaison du nombre de transitions des Matrices Vanilles Etats/Transitions avec leur format réduit ici.

VI-2 - Notation Multiplexe

a - Multiplexe : 0 objet

Hauteur Max Siteswap
Etats
Multiplexes #0		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1                                
2                                
3                                
4                                
5                                
6                                
7                                
8                                
9                                
10                                
11                                
12                                
13                                
14                                
15                                
Somme
(0..15)		 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Hauteur Max Siteswap
Transitions
Multiplexes #0		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Nombre d'objets 1                                
2                                
3                                
4                                
5                                
6                                
7                                
8                                
9                                
10                                
11                                
12                                
13                                
14                                
15                                
Somme
(0..15)		 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

b - Multiplexe : 1 objet

Hauteur Max Siteswap
Etats
Multiplexes #1		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2     1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3       1 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78
4         1 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286
5           1 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715
6             1 1 6 21 56 126 252 462 792 1287
7               1 1 7 28 84 210 462 924 1716
8                 1 1 8 36 120 330 792 1716
9                   1 1 9 45 165 495 1287
10                     1 1 10 55 220 715
11                       1 1 11 66 286
12                         1 1 12 78
13                           1 1 13
14                             1 1
15                               1
Somme
(0..15)		 0 2 3 4 6 10 18 34 66 130 258 514 1026 2050 4098 8194
Hauteur Max Siteswap
Transitions
Multiplexes #1		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2     1 3 8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195
3       1 4 15 36 70 120 189 280 396 540 715 924 1170
4         1 5 24 70 160 315 560 924 1440 2145 3080 4290
5           1 6 35 120 315 700 1386 2520 4290 6930 10725
6             1 7 48 189 560 1386 3024 6006 11088 19305
7               1 8 63 280 924 2520 6006 12936 25740
8                 1 9 80 396 1440 4290 11088 25740
9                   1 10 99 540 2145 6930 19305
10                     1 11 120 715 3080 10725
11                       1 12 143 924 4290
12                         1 13 168 1170
13                           1 14 195
14                             1 15
15                               1
Somme
(0..15)		 0 2 4 8 18 42 98 226 514 1154 2562 5634 12290 26626 57346 122882

c - Multiplexe : 2 objets

VI-3 - Notation Synchrone

Hauteur Max Siteswap
Etats
Synchrones		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2     1 1 5 5 9 9 13 13 17 17 21 21 25 25
3         2 2 14 14 34 34 62 62 98 98 142 142
4         1 1 9 9 46 46 127 127 268 268 485 485
5             2 2 34 34 160 160 476 476 1110 1110
6             1 1 13 13 127 127 574 574 1794 1794
7                 2 2 62 62 476 476 2100 2100
8                 1 1 17 17 268 268 1794 1794
9                     2 2 98 98 1110 1110
10                     1 1 21 21 485 485
11                         2 2 142 142
12                         1 1 25 25
13                             2 2
14                             1 1
15                                
Somme
(0..15)		 0 0 4 4 11 11 38 38 146 146 578 578 2306 2306 9218 9218
Hauteur Max Siteswap
Transitions
Synchrones		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1     4 4 8 8 12 12 16 16 20 20 24 24 28 28
2     2 2 24 24 70 70 140 140 234 234 352 352 494 494
3         16 16 132 132 440 440 1036 1036 2016 2016 3476 3476
4         2 2 110 110 702 702 2466 2466 6410 6410 13862 13862
5             40 40 628 628 3572 3572 12294 12294 35936 35936
6             2 2 322 322 3322 3322 17614 17614 64880 64880
7                 88 88 2012 2012 16736 16736 84704 84704
8                 2 2 786 786 11230 11230 81624 81624
9                     184 184 5316 5316 58620 58962
10                     2 2 1754 1754 31474 31474
11                         376 376 12604 12604
12                         2 2 3730 3730
13                             760 760
14                             2 2
15                                
Somme
(0..15)		 0 0 7 7 51 51 367 367 2339 2339 13635 13635 74125 74125 392195 392537

 

L'histogramme ci-dessous compare le nombre d'états des Matrices Synchrones Etats/Transitions avec leur format réduit selon le nombre d'objets (jusqu'à 9) et la hauteur maximum. Cliquez sur l'image pour zoomer. Les Colonnes étiquetées "S" correspondent aux valeurs Standards, celles étiquetées "R" indiquent les valeurs réduites.

 

diagram_V_comp_states_low.png

 

L'histogramme ci-dessous compare le nombre de transitions des Matrices Synchrones Etats/Transitions avec leur format réduit selon le nombre d'objets (jusqu'à 9) et la hauteur maximum. Cliquez sur l'image pour zoomer. On remarquera qu'au delà de 4 objects la réduction ne réduit pas le nombre de transitions au sein des Matrices.

 

diagram_S_comp_transitions_low.png

 

Au besoin vous trouverez une version plus complète de l'histogramme :

  • de comparaison du nombre d'états des Matrices Synchrones Etats/Transitions avec leur format réduit ici.
  • de comparaison du nombre de transitions des Matrices Synchrones Etats/Transitions avec leur format réduit ici.

VI-4 - Notation Synchrone Multiplexe

a - Synchrone, Multiplexe : 0 objet

Hauteur Max Siteswap
Etats
Synchrones
Multiplexes #0		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1                                
2                                
3                                
4                                
5                                
6                                
7                                
8                                
9                                
10                                
11                                
12                                
13                                
14                                
15                                
Somme
(0..15)		 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Hauteur Max Siteswap
Transitions
Synchrones
Multiplexes #0		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Nombre d'objets 1                                
2                                
3                                
4                                
5                                
6                                
7                                
8                                
9                                
10                                
11                                
12                                
13                                
14                                
15                                
Somme
(0..15)		 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

b - Synchrone, Multiplexe : 1 objet

Hauteur Max Siteswap
Etats
Synchrones
Multiplexes #1		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2     1 1 5 5 9 9 13 13 17 17 21 21 25 25
3         2 2 14 14 34 34 62 62 98 98 142 142
4         1 1 9 9 46 46 127 127 268 268 485 485
5             2 2 34 34 160 160 476 476 1110 1110
6             1 1 13 13 127 127 574 574 1794 1794
7                 2 2 62 62 476 476 2100 2100
8                 1 1 17 17 268 268 1794 1794
9                     2 2 98 98 1110 1110
10                     1 1 21 21 485 485
11                         2 2 142 142
12                         1 1 25 25
13                             2 2
14                             1 1
15                                
Somme
(0..15)		 0 0 4 4 11 11 38 38 146 146 578 578 2306 2306 9218 9218
Hauteur Max Siteswap
Transitions
Synchrones
Multiplexes #1		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1     4 4 8 8 12 12 16 16 20 20 24 24 28 28
2     2 2 24 24 70 70 140 140 234 234 352 352 494 494
3         16 16 132 132 440 440 1036 1036 2016 2016 3476 3476
4         2 2 110 110 702 702 2466 2466 6410 6410 13862 13862
5             40 40 628 628 3572 3572 12294 12294 35936 35936
6             2 2 322 322 3322 3322 17614 17614 64880 64880
7                 88 88 2012 2012 16736 16736 84704 84704
8                 2 2 786 786 11230 11230 81624 81624
9                     184 184 5316 5316 58620 58962
10                     2 2 1754 1754 31474 31474
11                         376 376 12604 12604
12                         2 2 3730 3730
13                             760 760
14                             2 2
15                                
Somme
(0..15)		 0 0 7 7 51 51 367 367 2339 2339 13635 13635 74125 74125 392195 392537

VI-5 - Notation MultiSynchrone

a - MultiSynchrone, Multiplexe : 0 objet

Hauteur Max Siteswap
Etats
MultiSynchrones #0		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
Nombre d'objets 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1                                
2                                
3                                
4                                
5                                
6                                
7                                
8                                
9                                
10                                
11                                
12                                
13                                
14                                
15                                
Somme
(0..15)		 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Hauteur Max Siteswap
Transitions
MultiSynchrones #0		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
0   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Nombre d'objets 1                                
2                                
3                                
4                                
5                                
6                                
7                                
8                                
9                                
10                                
11                                
12                                
13                                
14                                
15                                
Somme
(0..15)		 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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Lancers/sec : Vélocité :  Couleur :